直角三角形ABC中,.直角三角形ABC中,斜边BC为m,以BC的中点O为圆心,作半径为n（n＜m/2）的圆,分别交BC于P,Q两点,求证｜AP｜^2+｜AQ｜^2+｜PQ｜^2为定值.
直角三角形ABC中,.
直角三角形ABC中,斜边BC为m,以BC的中点O为圆心,作半径为n（n＜m/2）的圆,分别交BC于P,Q两点,求证｜AP｜^2+｜AQ｜^2+｜PQ｜^2为定值.
连接AO
因为O是Rt△ABC斜边BC的中点,所以：AO=BC/2=m/2
在△AOP中,根据余弦定理有：
AP^=PO^+AO^-2AO*PO*cos∠AOP
===>AP^=n^+(m/2)^-2*(m/2)*n*cos∠AOP
===>AP^=n^+(m^/4)-mncos∠AOP……………………………（1）
同理,在△AOQ中,根据余弦定理有：
AQ^=QO^+AO^-2AO*QO*cos∠AOQ
===>AP^=n^+(m/2)^-2*(m/2)*n*cos∠AOQ
===>AP^=n^+(m^/4)-mncos∠AOQ……………………………（2）
因为∠AOP+∠AOQ=180°,所以：
cos∠AOP=-cos∠AOQ
所以,(1)+(2)得到：
AP^+AQ^=2n^+(m^/2)
而PQ^=(2n)^=4n^
所以,AP^2+AQ^2+PQ^2=6n^+(m^/2)