二次函数知识点

　　一、二次函数概念：

　　1．二次函数的概念：一般地,形如（是常数,）的函数,叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

　　2.二次函数的结构特征：

　　⑴等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2．

　　⑵是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项．

　　二、二次函数的基本形式

　　1.二次函数基本形式：的性质：

　　a的绝对值越大,抛物线的开口越小.

　　的符号

　　开口方向顶点坐标对称轴性质

　　向上

　　轴

　　时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．

　　向下

　　轴

　　时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．

　　2.的性质：

　　上加下减.

　　的符号

　　开口方向顶点坐标对称轴性质

　　向上

　　轴

　　时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．

　　向下

　　轴

　　时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．

　　3.的性质：

　　左加右减.

　　的符号

　　开口方向顶点坐标对称轴性质

　　向上

　　X=h时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．

　　向下

　　X=h时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．

　　4.的性质：

　　的符号

　　开口方向顶点坐标对称轴性质

　　向上

　　X=h时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．

　　向下

　　X=h时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．

　　三、二次函数图象的平移

　　1.平移步骤：

　　方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标；

　　⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下：

　　2.平移规律

　　在原有函数的基础上“值正右移,负左移；值正上移,负下移”．

　　概括成八个字“左加右减,上加下减”．

　　方法二：

　　⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位,变成

　　（或）

　　⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位,变成（或）

　　四、二次函数与的比较

　　从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中．

　　五、二次函数图象的画法

　　五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,（若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点）.

　　画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.

　　六、二次函数的性质

　　1.当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为．

　　当时,随的增大而减小；当时,随的增大而增大；当时,有最小值．

　　2.当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为．当时,随的增大而增大；当时,随的增大而减小；当时,有最大值．

　　七、二次函数解析式的表示方法

　　1.一般式：（,,为常数,）；

　　2.顶点式：（,,为常数,）；

　　3.两根式：（,,是抛物线与轴两交点的横坐标）.

　　注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

　　八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

　　1.二次项系数

　　二次函数中,作为二次项系数,显然．

　　⑴当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大；

　　⑵当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大．

　　总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小．

　　2.一次项系数

　　在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴．

　　⑴在的前提下,

　　当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧；

　　当时,,即抛物线的对称轴就是轴；

　　当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧．

　　⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即

　　当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧；

　　当时,,即抛物线的对称轴就是轴；

　　当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧．

　　总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置．

　　的符号的判定：对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”

　　总结：

　　3.常数项

　　⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

　　⑵当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为；

　　⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

　　总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置．

　　总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的．

　　二次函数解析式的确定：

　　根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：

　　1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；

　　2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；

　　3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；

　　4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．

　　九、二次函数图象的对称

　　二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达

　　1.关于轴对称