莫利定理　

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　　莫利定理（Morley'stheorem）,也称为莫雷角三分线定理.将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.该定理以其美妙和证明困难著称.到目前为止,已经有很多证明方法.参考资料给出一种证明方法：设△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线,三边长为a,b,c,三内角为3α,3β,3γ,则α+β+γ=60°.证法一：在△ABR中,由正弦定理,得AR=csinβ/sin(α+β).不失一般性,△ABC外接圆直径为1,则由正弦定理,知c=sin3γ,所以AR=（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin^2γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）.同理,AQ=4sinβsinγsin(60°+β)在△ARQ中,由余弦定理,得RQ^2=16sin^2βsin^2γ[sin^2(60+γ)+sin^2(60°+β)-2sin(60°+γ)*sin（60°+β）cosα]=16sin^2αsin^2βsin^2γ.这是一个关于α,β,γ的对称式,同理可得PQ^2,PR^2有相同的对称性,故PQ=RQ=PR,所以△PQR是正三角形.证法二：∵AE：AC=sinγ：sin（a+γ）,AF：AB=sinβ：sin（a+β）,AB：AC=sin3γ：sin3β,∴AE:AF=（ACsin（a+γ）/sinγ）：（ABsin（a+β）/sinβ）,而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ)）：（sinβsin(60°+β)sin(60°-β)）,∴AE：AF=sin(60°+γ)：sin(60°+β),∴在△AEF中,∠AEF=60°+γ,同理∠CED=60°+a,∴∠DEF=60°,∴△DEF为正三角形.