设有一质量为m的物体,在空中由静止开始下落,如果空气阻力为R-查字典问答网
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  设有一质量为m的物体,在空中由静止开始下落,如果空气阻力为R=kv,其中k>0,v为物体的速度,求物体下落的s与t的函数关系

  设有一质量为m的物体,在空中由静止开始下落,如果空气阻力为R=kv,其中k>0,v为物体的速度,求物体下落的s与t

  的函数关系

1回答
2020-06-03 09:32
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翟建设

  f=kv

  由牛顿第二定律,得 mg-f=ma即 mg-kv=mdv/dt

  整理后,得mdv/(mg-kv)=dt

  两边积分,得 (-m/k)ln(mg-kv)=t+C₁(C₁为积分常数)

  由初始条件:t=0时,v=0(从静止开始下落的),得 C₁=(-m/k)ln(mg)

  所以,(-m/k)ln(mg-kv)=t+(-m/k)ln(mg)

  即 t=(m/k)ln[mg/(mg-kv)]

  得 v=(mg/k)×{1-e^[-(kt/m)]}

  因为v=ds/dt,

  所以s=∫vdt=∫(mg/k)×{1-e^[-(kt/m)]}dt

  =(mg/k)t+(mg/k)×(m/k)×e^(-kt/m)+C₂(C₂为积分常数)

  =(mg/k)t+(m²g/k²)×e^(-kt/m)+C₂

  由初始条件:t=0时,s=0 得 C₂=-m²g/k²

  所求的s与t的关系是 s=(mg/k)t+(m²g/k²)×e^(-kt/m)-m²g/k²

2020-06-03 09:36:29

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