【(急!)三角形面积计算公式:S=abc/4R(R为其外接圆-查字典问答网
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  【(急!)三角形面积计算公式:S=abc/4R(R为其外接圆半径)是怎么得来的?】

  (急!)三角形面积计算公式:S=abc/4R(R为其外接圆半径)是怎么得来的?

1回答
2020-06-09 04:35
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邵玉芹

  1.作三角形的外接圆(圆心是O)设角A是三角形ABC中最大的内角,作AD垂直BC于D,连接AO并延长交圆O于E,连接BE,然后证明三角形ABE与三角形ADC相似,得AB:AE=AD:AC,即AD=(AB*AC)/AE,又S=1/2BC*AD,AE=2R,所以S=1/2BC*(AB*AC)/AE=

  abc/4R

  2分别构造锐角三角形ABC,钝角三角形ABC和直角三角形ABC.

  设BC=a,AC=b,AB=c,AD=h,BD=a1,DC=a2,分别在三角形ABD,三角形ADC中有a1=sqrt(c²-h²),a2=sqrt(b²-h²).

  因为a1±a2=a,所以sqrt(c²-h²)±sqrt(b²-h²)=a(注意有三种情况,对于直角三角形,可看作b=h).

  为求出h,把式子化为sqrt(c²-h²)-a=负正sqrt(b²-h²),

  用解无理方程的平方法,解得h²=〔(a+b+c)*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)〕/4a²,其中p=1/2(a+b+c),则b+c-a=2(p-a),

  a+c-b=2(p-b),a+b-c=2(p-c).

  所以h=〔2*sqrtp(p-a)(p-b)(p-c)〕/a,

  所以S=1/2a*〔2*sqrtp(p-a)(p-b)(p-c)〕/a=sqrtp(p-a)(p-b)(p-c)

2020-06-09 04:36:40

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