正方形与圆

　　大约6000年以前,美索不达米亚人制造了圆轮,这是当时最伟大的发明之一．然后他们慢慢掌握了很多有关圆的几何知识．为了算出圆的周长,他们在圆外画一个“最小的”正方形,在圆内画一个“最大的”正方形,然后把两个正方形的周长之和的一半近似地作为圆的周长．

　　现代人对于正方形与圆的认识要深刻得多了．

　　你见过一种折叠桌吗?它的桌面形状如图2所示,在4个用阴影表示的弓形与中间正方形的4条公共边上,分别装有金属制的合页．如果把这4个弓形扳开,桌面就呈圆形；如果把这4个弓形翻折到桌面的背后去,桌子就呈正方形．这样桌子能同时起到圆桌和方桌的作用,真是一举两得!

　　正方形是我们最熟悉和喜欢的图形之一．我们把一张正方形的纸对折一次到两次,就可以发现它具有四边相等、四角相等、对角线相等并且互相垂直平分、有4条对称轴和一个对称中心等重要性质．由于这些性质,正方形常被用作图案装饰．用方砖铺成的地面,砖与砖之间、砖与墙之间都很容易严丝合缝,并且从长、宽、对角线方向看去都具有对称性,因此比较美观．国际象棋的棋盘、围棋的棋盘,都是用一个大正方形画成小正方形的格子做成的．

　　此外,正方形还与圆有着密切的关系．正方形有外接圆,圆也有内接正方形．外接圆的直径长等于正方形的对角线长,正方形的4个顶点把外接圆4等分．上面所说的折叠桌,就是利用了正方形的这些性质．

　　但是,为什么上面的折叠桌要把圆变为正方形,而不变为长方形呢?这里有一个奥妙．原来,在圆的所有内接矩形中,正方形的面积最大．

　　为了弄清楚这一点,请看图3,设四边形是圆的任何一个内接矩形,是垂直于的弦,垂足为．利用相似三角形的知识,容易证明,即．由于直径是最长的弦,所以矩形的面积：

　　这就是说,大．那么,能否等于能．从刚才证明的过程中,你一定可以发现只需并且必须使是垂直于的直径,即点与点重合,并且．而这正好说明：要使达到最大值,只需并且必须使矩形是圆的内接正方形．

　　看到这里,你也许会说：“正方形还有内切圆呢,它有什么用处呀?”

　　这个问题提得很好,正方形有内切圆,圆也有外切正方形．正方形的内切圆有什么性质呢?请看图4,你一定能发现：内切圆的直径长等于正方形的边长,切点是正方形各边的中点；内切圆和外切圆是以正方形中心为圆心的同心圆．

　　正方形的内切圆也有许多用处．例如,上底和下底为正方形的饼干桶,如果盖子做成正方形,由于正方形的边长小于对角线长,盖子很容易掉进桶里去；把盖子做成圆形（比内切圆稍小些）,既美观,又不易掉下去．又如,给暖瓶做包装纸盒时,把与瓶盖、瓶底接触的面做成正方形,使瓶底的圆周正好内切于纸盒底面的4条边,这样往往节省空间,并且有利于存放和运输．