已知椭圆x^2/3+y^2/2=1的左右焦点分别为F1,F2-查字典问答网
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  已知椭圆x^2/3+y^2/2=1的左右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线交托源于BD两点,过点F2的直线交托源于AC两点,且AC垂直于BD,垂足为P1)设点P坐标为(x0,y0),求证:x0^2/3+y0^2/2小于1;2)求四边形ABCD面积的最小值.

  已知椭圆x^2/3+y^2/2=1的左右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线交托源于BD两点,过点F2的直线交托源于AC两点,且

  AC垂直于BD,垂足为P

  1)设点P坐标为(x0,y0),求证:x0^2/3+y0^2/2小于1;

  2)求四边形ABCD面积的最小值.

  不把详细解题过程打出来也不要紧,大概是用什么思路写这道题,从哪入手请讲清楚些~

1回答
2020-06-10 23:24
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黄雄波

  (1)椭圆x²/3+y²/2=1--->F1(-1,0),F2(1,0)

  AC⊥BD于P即∠F1PF2=90°--->P点轨迹为单位圆x²+y²=1

  --->Xo²/3+Yo²/2<Xo²+Yo²=1

  (2)∵P在椭圆内,∴原题应该是求四边形ACBD面积S的最小值

  设AB与x正方向所成角为θ,则CD与x正方向所成角为θ+π/2

  --->AB参数方程:{x=tcosθ-1,y=tsinθ}

  CD参数方程:{x=1-tsinθ,y=tcosθ}

  AB与椭圆方程联立:2(tcosθ-1)²+3(tsinθ)²=6

  --->(3-cos²θ)t²-4tcosθ-4=0

  --->t1+t2=4cosθ/(3-cos²θ),t1t2=-4/(3-cos²θ)

  --->(t1-t2)²=(t1+t2)²-4t1t2=48/(3-cos²θ)²

  --->|AB|=|t1-t2|=4√3/(3-cos²θ)=8√3/(5-cos2θ)

  同理:|CD|=4√3/(3-sin²θ)=8√3/(5+cos2θ)

  --->S=(1/2)|AB||CD|=96/(25-cos²2θ)≥96/(25-1)=4

  --->θ=0或π/2即AB或CD垂直于x轴时,ABCD面积最小为4

2020-06-10 23:27:38

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