深夜.

　　1、原式=[1/(r+1)]∫{1/[√[x^2(r+1)+1]]}d(x^(r+1))

　　=[1/(r+1)]ln|x^(r+1)+√[x^(2r+2)+1]|+C

　　2、原式=∫{1/√[(x-1)^2+2^2]}d(x-1)

　　=ln|x-1+√(x^2-2x+5)|+C

　　3、原式=-∫xd(cscx)

　　=-xcscx+∫cscxdx

　　=-xcscx-cscxcotx+C

　　4、令t=e^x

　　原式=∫[ln(t+1)]/(t^2)d(t)

　　=-∫ln(t+1)d(1/t)

　　=-[ln(t+1)]/t+∫1/[t(t+1)]dt

　　=-[ln(t+1)]/t+∫(1/t)dt-∫[1/(t+1)]dt

　　=-[ln(t+1)]/t+lnt-ln(t+1)+C

　　=-[ln(t+1)]/t+ln[t/(t+1)]+C

　　5、令t=arctanx,

　　x=tantdx=sec^2tdt

　　原式=∫ttantsectdt

　　=∫td(sect)

　　=tsect-∫sectdt

　　=tsect-ln|tant+sect|+C

　　将t=arctanx代回上式即为答案

　　6、这题用手机打复杂,说说思路吧.

　　原式=(1/12)∫(1/(x^8+3x^4+2)d(x^12)

　　对上式令t=x^4

　　化简得：(1/4)∫(t^2)/(t^2+3t+2)dt

　　分子加3t+2-3t-2然后拆项,再利用有理函数分解因式之类的再拆项,再凑微分,再套常用公式.说起来复杂,其实并不复杂.

　　睡觉去.