如图，已知△ABC和△ABD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠-查字典问答网

来自房朝晖的问题

　　如图，已知△ABC和△ABD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BAD=90°，点P为边AC上任意一点（点P不与A、C两点重合），作PE⊥PB交AD于点E，交AB于点F．（1）求证：∠AEP=∠ABP．（2）猜想线段PB、PE的数

　　如图，已知△ABC和△ABD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BAD=90°，点P为边AC上任意一点（点P不与A、C两点重合），作PE⊥PB交AD于点E，交AB于点F．

　　（1）求证：∠AEP=∠ABP．

　　（2）猜想线段PB、PE的数量关系，并证明你的猜想．

　　（3）若P为AC延长线上任意一点（如图②），PE交DA的延长线于点E，其他条件不变，（2）中的结论是否成立？请证明你的结论．

1回答

2020-06-13 20:23

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成继勋

　　证明：（1）∵PE⊥PB，

　　∴∠EPB=90°，

　　∵∠BAD=90°，

　　∴∠AEP=90°-∠1，∠ABP=90°-∠2，

　　∵∠1=∠2，

　　∴∠AEP=∠ABP；

　　（2）PB=PE，

　　如图3，过P作PM⊥AC交AB与M，

　　在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°，

　　∴∠PAM=∠AMP=45°，

　　∴PA=PM，

　　∵∠PAE=45°+90°=135°，∠PMB=180°-45°=135°，

　　∴∠PAE=∠PMB，

　　在△AEP和△MBP中

　　∠PAE＝∠PMB∠AEP＝∠ABPAP＝PM

2020-06-13 20:27:04