一、椭圆的几何性质

　　变元范围

　　由椭圆的标准方程（a>b>0）知｜x｜≤a,｜y｜≤b,说明椭圆位于直线和所围成的矩形里.

　　对称性及中心

　　1）判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据

　　若把方程中的x换成－x,方程不变,则曲线关于y轴对称.

　　若把方程中的y换成－y,方程不变,则曲线关于x轴对称.

　　若把方程中的x、y同时换成－x、－y,方程不变,则曲线关于原点对称.

　　2）椭圆关于x轴、y轴对称也关于原点对称

　　对于椭圆标准方程,把x换成－x,或把y换成－y,或把x、y同时换成－x、－y方程都不变,所以图形关于x轴、y轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是椭圆的对称轴；原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

　　顶点及长短轴

　　1）椭圆的顶点

　　椭圆（a>b>0）和它的对称轴有四个交点(－a,0)、(a,0)、(0,－b)、(0,b),这四个交点叫做椭圆的顶点.

　　2）椭圆的长轴、短轴

　　线段叫做椭圆的长轴,它的长为2a,a叫做椭圆的长半轴长.

　　线段叫做椭圆的短轴,它的长为2b,b叫做椭圆的短半轴长.

　　离心率

　　椭圆的焦距与长轴长的比,叫做椭圆的离心率.

　　离心率的取值范围是：0＜e＜1.

　　e越接近1,则c就越接近a,从而越小,因此椭圆越扁；反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆.

　　当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形这时就变为圆,因此方程即为x2+y2=a2.

　　上述e的数量的变化,反映了椭圆的扁平程度,如果两焦点与原点重合,即a=b,则c=0,图形发生质的变化就不再是椭圆,成为圆x2+y2=a2.

　　准线方程

　　1）椭圆（a>b>0）的准线方程为：；

　　2）椭圆（a>b>0）的准线方程为：；

　　3）两准线间的距离为.

　　焦半径公式

　　1）椭圆的焦半径公式

　　若P（x,y）是椭圆上任一点,F1,F2是椭圆（a＞b＞0）的左焦点和右焦点.则：｜PF1｜＝a＋ex,｜PF2|＝a－ex；

　　若P（x,y）是椭圆上任一点,F1,F2是椭圆（a＞b＞0）的下焦点和上焦点,则｜PF1｜＝a＋ey,｜PF2|＝a－ey.

　　（1）如图(1)所示.

　　（2）如图(2)所示：

　　2）在求过焦点的椭圆的弦长时,利用焦半径公式非常简捷.

　　设弦AB,其中A（x1,y1）,B（x2,y2）,若AB过焦点F1,则｜AB｜＝｜AF1｜＋

　　｜BF1｜＝2a＋e（x1＋x2）.

　　3）椭圆的通径

　　定义：经过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦P1P2,叫做椭圆的通径.

　　公式：.

　　二、椭圆的参数方程

　　椭圆（a>b>0）的参数方程为：.

　　参数方程中的a、b即是椭圆标准方程中的a、b,常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.

　　另外的含义为：

　　如图,以原点为圆心,分别以a,b(a>b)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过A点作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,设点M的坐标是（x,y）,是以ox为始边,OA为终边的正角.点M的轨迹为一椭圆.

　　三、直线与椭圆的位置关系

　　直线与椭圆的位置关系为相交、相切和相离.

　　直线与椭圆相交时可能是一个交点,即相切；也可能是两个交点.

　　直线与椭圆相切时,椭圆上一点M（,）处的切线为；与椭圆相切,斜率为k的切线为.

　　四、椭圆系

　　共焦点的椭圆系的方程为

　　（其中k>c2,c为半焦距）

　　具有相同离心率的标准椭圆系的方程为

　　.

　　具体请看下面的连接