1.在三角形ABC中,若a^2,b^2,c^2成等差数列,试判断1/tanA,1/tanB,1/tanC是否成等差数列?并说明理由.2.已知数列{an}的前m项（m为大于1的常数）满足a1/(a1+1)=a2/(a2+3)=a3/(a3+5)=...=am/(am+2m-1),且a1+a2+...+am=8,求a13.
1.在三角形ABC中,若a^2,b^2,c^2成等差数列,试判断1/tanA,1/tanB,1/tanC是否成等差数列?并说明理由.
2.已知数列{an}的前m项（m为大于1的常数）满足a1/(a1+1)=a2/(a2+3)=a3/(a3+5)=...=am/(am+2m-1),且a1+a2+...+am=8,求a1
3.等比数列{an}中,公比q=2,log2底a1+log2底a2+log2底a3+...+log2底a10=25,则a1+a2+...+a10=?
第一题：
1/tanA,1/tanB,1/tanC成等差数列.证明如下：
1)根据余弦定理有b^2=a^2+c^2-2accosB,根据题意2b^2=a^2+c^2,代入得b^2=2accosB
2)根据正弦定理有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（R是外接圆半径）,代入得(sinB)^2=2sinAsinCcosB
3)两边同时除以sinAsinCsinB有sinB/(sinAsinC)=2cosB/sinB,将sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC代入即有(cosA/sinA)+(cosC/sinC)=2cosB/sinB,即(1/tanA)+(1/tanC)=2/tanB
第二题：
a1=8/m^2
1)假设ai/(ai+2i-1)=k（i=1,2,...m）,那么ai=(2i-1)/[(1/k)-1]
2)于是a1+a2+...+am=[1+3+...(2m-1)]/[(1/k)-1]=m^2/[(1/k)-1]
3)根据m^2/[(1/k)-1]=8可知a1=1/[(1/k)-1]=8/m^2
第二题：
a1+a2+...+a10=1023/4
1)log(2)a1+log(2)a2+...+log(2)a10=25可知a1*a2*...*a10=2^25
2)由{an}是等比数列并且q=2,于是a1*a2*...*a10=a1^10*2^45,代入1)得a1^10=2^(-20),于是a1=1/4（注意a1>0)
3)从而a1+a2+...+a10=a1*(q^10-1)/(q-1)=(1/4)*1023=1023/4