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来自廖常初的问题

  关于原函数是周期函数,那么它的导数也是周期函数我知道有一种证明方法即:f(x+T)=f(x)两边求导:f'(x+T)=f'(x)但我不明白它这边f'(x+T)是对x求导,还是对x+T求导.

  关于原函数是周期函数,那么它的导数也是周期函数

  我知道有一种证明方法即:

  f(x+T)=f(x)

  两边求导:

  f'(x+T)=f'(x)

  但我不明白它这边f'(x+T)是对x求导,还是对x+T求导.

9回答
2020-06-15 06:33
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江吕锋

  当然是对x求导.

  [f(x+T)]'=f'(x+T)·(x+T)'=f'(x+T),这是一个复合函数求导.

2020-06-15 06:36:51
廖常初

  f(x+T)=f(x)是数值上相等,两个的方程式是不相等的,那么具体到同一个x上,两者的导数能相等吗

2020-06-15 06:40:24
江吕锋

  不论是否是周期函数,只要T是常数,f(x+T)的导数都是f'(x+T)。举个简单例子:f(x)=x²,f'(x)=2x,则f'(x+T)=2(x+T),另一方面,f(x+T)=x²+2Tx+T²,对x求导,得f'(x+T)=2x+2T=2(x+T)。由于[f(x+T)]'=f'(x+T)从而对周期函数来说,由f(x+T)=f(x),可以得出f'(x+T)=f(x)

2020-06-15 06:44:19
廖常初

  我换一句话问吧,就是f(x+T)和f(x)是同一个函数吗

2020-06-15 06:49:01
江吕锋

  1、对于周期函数,有f(x+T)=f(x),当然,此时f(x)与f(x+T)是同一函数;2、对于非周期函数,由于不存在非零常数T,使f(x+T)=f(x)对于定义域内的每一个x都成立,从而y=f(x+T)和y=f(x)是两个不同的函数。

2020-06-15 06:50:28
廖常初

  就是说对于周期函数,f'(x+T)和f'(x)都是同一函数对同一x求导,故二者相等。

2020-06-15 06:51:45
江吕锋

  完全正确。

2020-06-15 06:53:35
廖常初

  那么对于f(x+T)=f(x)我们是因为二者相等,故先推出其函数图象相同,再推出它们在同一x上的导数相同。还是因为这二者相等,便直接得出其在同一x上的导数相同?我知道这么问很烦,但我想在逻辑链上有一个清醒的认识。当然会不会有两函数在同一x上y值相等,但其中一个函数在某一x0上却不可导的情况。

2020-06-15 06:55:20
江吕锋

  1.对于周期函数来说,没有可能。由于f(x+T)=f(x),从而,y=f(x+T)和y=f(x)是同一个函数,而不是两个函数。2.对于其它函数,可能存在这种情况。如f(x)=x²+1和g(x)=|x|+1,易知f(0)=g(0),而f'(0)=1,g'(0)不存在。

2020-06-15 06:57:37

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