傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的.

　　目录

　　定义中文译名

　　应用

　　概要介绍

　　基本性质线性性质

　　频移性质

　　微分关系

　　卷积特性

　　Parseval定理

　　傅里叶变换的不同变种连续傅里叶变换

　　傅里叶级数

　　离散傅里叶变换

　　时频分析变换

　　数学领域整体结构

　　蝶形运算器的实现

　　FFT的地址

　　旋转因子

　　存储器的控制

　　硬件的选择

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　　应用

　　概要介绍

　　基本性质线性性质

　　频移性质

　　微分关系

　　卷积特性

　　Parseval定理

　　傅里叶变换的不同变种连续傅里叶变换

　　傅里叶级数

　　离散傅里叶变换

　　时频分析变换

　　数学领域整体结构

　　蝶形运算器的实现

　　FFT的地址

　　旋转因子

　　存储器的控制

　　硬件的选择

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　　展开编辑本段定义

　　f(t)满足傅立叶积分定理条件时,下图①式的积分运算称为f(t)的傅立叶变换,②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换.F(ω)叫做f(t)的象函数,f(t)叫做F(ω)的象原函数.傅里叶变换

　　①傅里叶逆变换

　　②

　　中文译名

　　Fouriertransform或TransforméedeFourier有多个中文译名,常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“傅里叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等.为方便起见,本文统一写作“傅里叶变换”.

　　编辑本段应用

　　傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）.

　　编辑本段概要介绍

　　概要参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》,科学出版社,北京.原版书名为C.C.Lin&L.A.Segel,MathematicsAppliedtoDeterministicProblemsintheNaturalSciences,MacmillanInc.,NewYork,1974.*傅里叶变换属于谐波分析.*傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;*正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;*卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;*离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).

　　编辑本段基本性质

　　线性性质

　　两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和.数学描述是：若函数fleft(xright)和gleft(xright)的傅里叶变换mathcal[f]和mathcal[g]都存在,α和β为任意常系数,则mathcal[alphaf+betag]=alphamathcal[f]+betamathcal[g]；傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符；

　　频移性质

　　若函数fleft(xright)存在傅里叶变换,则对任意实数ω0,函数f(x)e^{iomega_x}也存在傅里叶变换,且有mathcal[f(x)e^{iomega_x}]=F(omega+omega_0).式中花体mathcal是傅里叶变换的作用算子,平体F表示变换的结果（复函数）,e为自然对数的底,i为虚数单位sqrt；

　　微分关系

　　若函数fleft(xright)当|x|rightarrowinfty时的极限为0,而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在,则有mathcal[f'(x)]=-iomegamathcal[f(x)],即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子−iω.更一般地,若f(pminfty)=f'(pminfty)=ldots=f^{(k-1)}(pminfty)=0,且mathcal[f^{(k)}(x)]存在,则mathcal[f^{(k)}(x)]=(-iomega)^mathcal[f],即k阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子(−iω)k.

　　卷积特性

　　若函数fleft(xright)及gleft(xright)都在(-infty,+infty)上绝对可积,则卷积函数f*g=int_{-infty}^{+infty}f(x-xi)g(xi)dxi的傅里叶变换存在,且mathcal[f*g]=mathcal[f]cdotmathcal[g].卷积性质的逆形式为mathcal^[F(omega)G(omega)]=mathcal^[F(omega)]*mathcal^[G(omega)],即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积,同时还有两个函数卷积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积.

　　Parseval定理

　　若函数fleft(xright)可积且平方可积,则int_{-infty}^{+infty}f^2(x)dx=frac{2pi}int_{-infty}^{+infty}|F(omega)|^domega.其中F(ω)是f(x)的傅里叶变换.

　　编辑本段傅里叶变换的不同变种

　　连续傅里叶变换

　　主条目：连续傅立叶变换一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”.“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数形式.f(t)=mathcal^[F(omega)]=frac{sqrt{2pi}}intlimits_{-infty}^inftyF(omega)e^{iomegat