1.设X=Y1^2+Y2^2+Y3^2+...+YN^2其中Yn都是独立的而且服从N(0,1)

　　那么X服从自由度为N的卡方分布

　　那么D(X)=D(Y1^2)+D(Y2^2)+...+D(YN^2)因为Yn独立

　　=2N因为D(Yn^2)=E(Yn^4)-E(Yn^2)=3-1=2

　　其中标准正态分布的四阶期望是3要么通过公式得出E(Y^n)=(2n)!/(n!2^n)其中Y是标准正态随机变量n是奇数如果n为偶数时E(Y^n)=0要么直接算算法是分步积分法

　　或者可以直接计算卡方分布的方差很好计算因为自由度为N的卡方分布其实是系数为N/2,1/2的Gamma分布而Gamma函数的性质让我们很容易计算出X的任何阶期望具体方法是:

　　X的n次方期望就是密度函数乘x^n积分这时你把x^n放进密度函数你的积分函数里面就得到x的N/2-1+n次方也就是说系数从N/2变成了N/2+n同样你把分式下面的Gamma函数和1/2^(N/2)提到积分外部然后添加需要的系数(使得该式变为系数为N/2+n和1/2的Gamma分布对1积分为一)然后除以你添加的系数最后积分外部的所有系数就是你的x^n的期望了

　　2.设X服从N(0,1)Z服从自由度为N的卡方分布X和Z独立那么D(T)=E(T^2)-E(T)^2其中E(T)=E(X/sqrt(Z/N))=E(X)*E(1/sqrt(Z/N))=0

　　所以D(T)=E(T^2)=E(X^2/(Z/N))=E(X^2)*E(N/Z)=N*E(X^2)*E(1/Z)

　　其中E(X^2)=1E(1/Z)=1/(N-2)(通过密度函数计算同第一题卡方分布的1/2次方期望可以很容易求出)

　　所以D(T)=N/(N-2)

　　对了自由度为k的卡方分布的密度函数是

　　你对比这个函数更好看懂我的回答