1.

　　sin54°=sin(90°-36°)=cos36°

　　其中由三倍角公式和二倍角公式有：

　　sin54°=-4(sin18°)^3+3sin18°

　　cos36°=1-2(sin18°)^2

　　代入sin54°=cos36°移项有方程

　　4(sin18°)^3-2(sin18°)^2-3sin18°+1=0

　　分解方程为(sin18°-1)[4(sin18°)^2+2sin18°-1]=0

　　共有三个

　　sin18°=1

　　sin18°=(-1+√5)/4

　　sin18°=(-1-√5)/4

　　验算有sin18°=(-1+√5)/4是唯一解

　　2.

　　令z=cos72°+isin72°,则z^5=1.即

　　(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0

　　因为z≠1,所以z^4+z^3+z^2+z+1=0

　　z^2+z+1+1/z+1/z^2=0

　　令y=z+1/z,则y^2+y-1=0.

　　解得:y=(-1±√5)/2

　　又y=z+1/z=2cos72°>0

　　所以cos72°=(-1+√5)/4

　　故sin18°=cos72°=(-1±√5)/4.

　　验算有sin18°=(-1+√5)/4是唯一解

　　3.

　　0=ctg90°=ctg(54°+36°)=(ctg54°ctg36°-1)/(ctg54°+ctg36°)

　　即0=ctg54°ctg36°-1

　　其中由三倍角公式和二倍角公式有：

　　ctg54°=[（ctg18°)^3-3ctg18°]/[3(ctg18°)^2-1]

　　ctg36°=[（ctg18°)^2-1]/2ctg18°

　　代入0=ctg54°ctg36°-1化简有

　　（ctg18°)^2=5±√20

　　又ctg18°=cos18°/sin18°,

　　即（ctg18°）^2=[1-(sin18°)^2]/(sin18°)^2=[1/(sin18°)^2]-1=5±√20

　　化简有sin18°=[√6±(√20)]/4=(√5±1)/4

　　其中验算消去(√5+1)/4项

　　有sin18°=(√5-1)/4