来自帅立国的问题
【为什么这两个式子相等?√[2^2+(√5-1)^2]/2/2等于sin36°不要告诉我计算器敲出来相等.】
为什么这两个式子相等?
√[2^2+(√5-1)^2]/2/2
等于
sin36°
不要告诉我计算器敲出来相等.
1回答
2020-06-15 21:18
【为什么这两个式子相等?√[2^2+(√5-1)^2]/2/2等于sin36°不要告诉我计算器敲出来相等.】
为什么这两个式子相等?
√[2^2+(√5-1)^2]/2/2
等于
sin36°
不要告诉我计算器敲出来相等.
解作黄金△ABC,∠BAC=36°,∠ABC=∠ACB=72°.
令BC=a,AB=AC=b.
过B作∠ABC的角平分线BD,交AC于D.
因为等腰△ABC∽等腰△BCD,
所以BC/CD=AB/BC,
故CD=a^2/b,
由此得:AD=b-a^2/b=(b^2-a^2)/b.
因为BC=BD,故a=(b^2-a^2)/b.
即得:b^2=a^2+ab
令b/a=t,则t^2-t-1=0,
解方程得:t=(√5+1)/2.
故b/a=(√5+1)/2,a/b=(√5-1)/2.
由正弦定得:sin36°/sin72°=a/b=(√5-1)/2.
故得:cos36°=(√5+1)/4.
因而得:sin36°=[√(10-2√5)]/4.