一道数学题已知实数x(0)、x(1)、x(2)、…x(n)、-查字典问答网

来自罗驱波的问题

　　一道数学题已知实数x(0)、x(1)、x(2)、…x(n)、…的构成规律有递推关系：x(0)=5.x(n)=x(n-1)+1/x(n-1)（n=1,2……）,求证45＜x(1000)＜45.1.

　　一道数学题

　　已知实数x(0)、x(1)、x(2)、…x(n)、…的构成规律有递推关系：x(0)=5.x(n)=x(n-1)+1/x(n-1)（n=1,2……）,求证45＜x(1000)＜45.1.

1回答

2020-06-16 00:21

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马帅

　　不难看出x(n)>0,且x(n)递增

　　x(n+1)^2=x(n)^2+1/x(n)^2+2

　　x(n+1)^2-x(n)^2=1/x(n)^2+2>2

　　x(n)^2-x(n-1)^2=1/x(n-1)^2+2>2

　　x(n-1)^2-x(n-2)^2=1/x(n-2)^2+2>2

　　……

　　x1^2-x0^2=1/x0^2+2>2

　　以上各式相加,叠加相消：

　　x(n+1)^2-x0^2=∑1/x(k)^2+2(n+1)>2(n+1),k从0取到n

　　取n=999,即x(1000)^2-25>2000

　　∴x(1000）>45同理x(100)>227

　　x1000=根号(∑1/x(k)^2+2025)k从0取到999

　　∵x(n)为递增数列

　　∴1/x(0)^2>1/x(1)^2>1/x(2)^2>……>1/x(n)^2

　　∴∑1/x(k)^2

2020-06-16 00:25:19