一、例子

　　[例1]高尔顿钉板试验.

　　图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.

　　如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且

　　那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.

　　二、中心极限定理

　　设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立

　　称服从中心极限定理.

　　[例2]设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.

　　解:服从中心极限定理,则表明

　　其中.由于,因此

　　故服从中心极限定理.

　　三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理

　　在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则

　　[例3]用频率估计概率时的误差估计.

　　由德莫佛—拉普拉斯极限定理,

　　由此即得

　　第一类问题是已知,求,这只需查表即可.

　　第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?这时利用求出最小的.

　　第三类问题是已知,求.

　　解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:.

　　[例4]抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?

　　解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.

　　[例5]已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:

　　的随机变量.求.

　　解:

　　因为很大,于是

　　所以

　　利用标准正态分布表,就可以求出的值.

　　[例6]某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.

　　解:以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.

　　如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,

　　查表得,故取.于是

　　取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.

　　[例7]根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.

　　解:将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.

　　由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有

　　其中,即有

　　四、林德贝格-勒维中心极限定理

　　若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有

　　证明:设的特征函数为,则

　　的特征函数为

　　又因为,所以

　　于是特征函数的展开式

　　从而对任意固定的,有

　　而是分布的特征函数.因此,

　　成立.

　　[例8]在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.

　　设有个数,它们的近似数分别是,.,.令

　　用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,

　　以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有

　　[例9]设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:的分布函数弱收敛于.

　　证明:为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有

　　由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.

　　作业:

　　P222EX32,33,34,35

　　五、林德贝尔格条件

　　设为独立随机变量序列,又

　　令,对于标准化了的独立随机变量和

　　的分布

　　当时,是否会收敛于分布?

　　[例10]除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地小”.

　　设是独立随机变量序列,又,这时

　　(1)若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有

　　(2)若是离散型随机变量,的分布列为

　　如果对于任意的,有

　　则称满足林德贝尔格条件.

　　[例11]以连续型情形为例,验证:林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地小”.

　　证明:令,则

　　于是

　　从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有

　　这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地小”.

　　六、费勒条件

　　设是独立随机变量序列,又,称条件为费勒条件.

　　林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.

　　七、林德贝尔格-费勒中心极限定理

　　引理1对及任意的,

　　证明:记,设,由于

　　因此,,其次,对,

　　用归纳法即得.

　　由于,因此,对也成立.

　　引理2对于任意满足及的复数,有

　　证明:显然