4个一位数,组成大数和小数相减,七步内必得6174.举三例子-查字典问答网
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  4个一位数,组成大数和小数相减,七步内必得6174.举三例子

  4个一位数,组成大数和小数相减,七步内必得6174.举三例子

1回答
2020-06-17 22:58
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蒋贵凰

  是选了四个数,分别是1、4、3、8.8431-1348=7083,8730-0378=8352,8532-2358=6174.果然是6174

  随便列了几个数:5、4、3、8.8543-3458=5085;8550-0558=7992;9972-2799=7173;7731-1377=6354;6543-3456=3087;8730-0378=8352;8532-2358=6174

  这个是数学黑洞问题

  任取一个四位数,只要四个数字不全相同,按数字递减顺序排列,构成最大数作为被减数;按数字递增顺序排列,构成最小数作为减数,其差就会得6174;如不是6174,则按上述方法再作减法,至多不过7步就必然得到6174.

  如取四位数5462,按以上方法作运算如下:

  6542-2456=40868640-0468=8172

  8721-1278=74437443-3447=3996

  9963-3699=62646642-2466=4176

  7641-1467=6174

  那么,出现6174的结果究竟有什么科学依据呢?

  设M是一个四位数而且四个数字不全相同,把M的数字按递减的次序排列,

  记作M(减);

  然后再把M中的数字按递增次序排列,记作M增,记差M(减)-M(增)=D1,从M到D1是经过上述步骤得来的,我们把它看作一种变换,从M变换到D1记作:T(M)=D1把D1视作M一样,按上述法则做减法得到D2,也可看作是一种变换,把D1变换成D2,

  记作:T(D1)=D2

  同样D2可以变换为D3;D3变换为D4……,既T(D2)=D3,T(D3)=D4……

  现在我们要证明,至多是重复7次变换就得D7=6174.

  证:四位数总共有104=10000个,其中除去四个数字全相同的,余下104-10=9990个数字不全相同.我们首先证明,变换T把这9990个数只变换成54个不同的四位数.

  设a、b、c、d是M的数字,并令:

  a≥b≥c≥d

  因为它们不全相等,上式中的等号不能同时成立.我们计算T(M)

  M(减)=1000a+100b+10c+d

  M(增)=1000d+100c+10b+a

  T(M)=D1=M(减)-M(增)=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a=999(a-d)+90(b-c)

  我们注意到T(M)仅依赖于(a-d)与(b-c),因为数字a,b,c,d不全相等,因此由a≥b≥c≥d可推出;a-d>0而b-c≥0.

  此外b、c在a与d之间,所以a-d≥b-c,这就意味着a-d可以取1,2,…,9九个值,并且如果它取这个集合的某个值n,b-c只能取小于n的值,至多取n.

  例如,若a-d=1,则b-c只能在0与1中选到,在这种情况下,T(M)只能取值:

  999×(1)+90×(0)=0999

  999×(1)+90×(1)=1089

  类似地,若a-d=2,T(M)只能取对应于b-c=0,1,2的三个值.把a-d=1,a-d=2,…,a-d=9的情况下b-c所可能取值的个数加起来,我们就得到2+3+4+…+10=54

  这就是T(M)所可能取的值的个数.在54个可能值中,又有一部分是数码相同仅仅是数位不同的值,这些数值再变换T(M)中都对应相同的值(数学上称这两个数等价),剔除等价的因数,在T(M)的54个可能值中,只有30个是不等价的,它们是:

  9990,9981,9972,9963,9954,9810,9711,9621,9531,9441,8820,8730,8721,8640,8622,8550,

  8532,8442,7731,7641,7632,7551,7533,7443,6642,6552,6543,5553,5544.

  对于这30个数逐个地用上述法则把它换成最大与最小数的差,至多6步就出现6174这个数.证毕.

2020-06-17 23:03:43

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