根据两复数相乘的公式,设Z=r(cosx+isinx),Z'=r'(cosx'+isinx')

　　则Z*Z'=rr'(cos(x+x')+isin(x+x'))

　　令Z=Z',得Z^2=r^2(cos2x+isin2x)

　　继续用Z乘这个式子,得Z^3=r^2(cos3x+isin3x)

　　设当n=k－1时,有Z^n=r^(k－1)(cos(k－1)x+isin(k－1)x)

　　则n=k时

　　Z^n=r^(k－1)(cos(k－1)x+isin(k－1)x)×r(cosx+isinx)

　　=r^k[cos(k－1)xcosx－sin(k－1)xsinx＋i﹙sin(k－1)xcosx＋sinxcos(k－1)x﹚]

　　=r^k(coskx+isinkx),也成立

　　∴n∈N,Z^n=r^n(cosnx+isinnx)

　　或者不用数学归纳法,可以这样证明：

　　引入欧拉公式：e^ix=cosx+isinx

　　将e^t,sint,cost分别展开为泰勒级数：

　　e^t=1+t+t^2/2!+t^3/3!+……+t^n/n!+……

　　sint=t-t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……

　　cost=1-t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……

　　将t=ix代入以上三式,可得欧拉公式

　　应用欧拉公式,（cosx＋isinx）^n=(e^ix)n

　　=e^inx

　　=cos(nx)+isin(nx)