【高中数学问题已知直线的参数方程为x=-1+3t,y=2-4t(t为参数),它与曲线(y-2)2-x2=1交于A,B两点.(1)求｜AB｜的长;(2)求点P(-1,2)到线段AB中点C的距离.】
高中数学问题
已知直线的参数方程为x=-1+3t,y=2-4t(t为参数),它与曲线(y-2)2-x2=1交于A,B两点.
(1)求｜AB｜的长;
(2)求点P(-1,2)到线段AB中点C的距离.
（1）将x=-1+3t,y=2-4t代入方程(y-2)^2-x^2=1得
(2-4t-2)^2-(-1+3t)^2=1,
化简得7t^2+6t-2=0,
所以t1+t2=-6/7,t1*t2=-2/7,
则由|AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=9(t2-t1)^2+16(t2-t1)^2=25(t2-t1)^2
=25[(t1+t2)^2-4t1*t2]=25*(36/49+8/7)=2300/49
得|AB|=(10√23)/7.
（2）C坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）=（-1+3*(t1+t2)/2,2-4*(t1+t2)/2）=（-16/7,26/7）,
所以由两点间距离公式得|PC|=√[(-16/7+1)^2+(26/7-2)^2]=15/7.
第一步是两点间距离公式，第二步是把x1=-1+3t1，x2=-1+3t2，y1=2-4t1，y2=2-4t2代入，第三步是合并，第四步是变形，利用和与积。