【已知e是自然对数的底数，F（x）=2ex-1+x+lnx，f（x）=a（x-1）+3（1）设T（x）=F（x）-f（x），当a=1+2e-1时，求证：T（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）若∀x≥1，F（x）≥f（x），求实数a的取值】

　　已知e是自然对数的底数，F（x）=2ex-1+x+lnx，f（x）=a（x-1）+3

　　（1）设T（x）=F（x）-f（x），当a=1+2e-1时，求证：T（x）在（0，+∞）上单调递增；

　　（2）若∀x≥1，F（x）≥f（x），求实数a的取值范围．