设函数，函数（其中，e是自然对数的底数）．

　　（Ⅰ）当时，求函数的极值；

　　（Ⅱ）若在上恒成立，求实数a的取值范围；

　　（Ⅲ）设，求证：（其中e是自然对数的底数）．

　　（Ⅰ），函数，，当时，；当时，，故该函数在上单调递增，在上单调递减．∴函数在处取得极大值．4分

　　（Ⅱ）由题在上恒成立，∵，，∴，

　　若，则，若，则恒成立，则．

　　不等式恒成立等价于在上恒成立，···6分

　　令，则，

　　又令，则，∵，．

　　①当时，，则在上单调递减，∴，

　　∴在上单减，∴，即在上恒成立；··7分

　　②当时，．

　　ⅰ）若，即时，，则在上单调递减，∴