来自刘鑫屏的问题
【已知e是自然对数的底数,-e<x<0,f(x)=-x-In(-x),g(x)=-(I)求f(x)的最小值:(II)证明:|f(x)|>g(x)+.】
已知e是自然对数的底数,-e<x<0,f(x)=-x-In(-x),g(x)=-
(I )求f(x)的最小值:
(II)证明:|f(x)|>g(x)+.
1回答
2020-06-18 23:35
【已知e是自然对数的底数,-e<x<0,f(x)=-x-In(-x),g(x)=-(I)求f(x)的最小值:(II)证明:|f(x)|>g(x)+.】
已知e是自然对数的底数,-e<x<0,f(x)=-x-In(-x),g(x)=-
(I )求f(x)的最小值:
(II)证明:|f(x)|>g(x)+.
分析:
(I )准确求解该函数的导函数是解决本题的关键,要注意定义域意识和复合函数求导的思想,通过研究函数的单调性达到解决本题的目的;(II)对所要证明的不等式进行放缩转化是解决本题的关键,注意通过函数的最值进行转化与放缩,求函数最值时注意导数的工具作用.
(I )∵f(x)=-x-lnx,f′(x)=-1-=;当-e<x<-1时,f′(x)<0,此时f(x)为减函数,当-1<x<0时,f′(x)>0,此时f(x)为增函数;所以,当-e<x<0时,f(x)的最小值为f(-1)=1.(II)证明:当-e<x<0时,f(x)的最小值为1,当-e<x<0时,f(x)≥1,又g′(x)=,故当-e<x<0时,g′(x)<0,即g(x)在(-e,0)上单调递减,故g(x)≤g(-e)=<所以,当-e<x<0时,|f(x)|=f(x)≥1=>g(x)+.
点评:
本题考查导数研究函数最值的问题,属于小综合题,求函数最值时要注意把握函数的单调性的运用,研究函数单调性时要注意发挥导数的工具作用.考查学生放缩法证明不等式的意识,含绝对值问题的处理方法要注意说明绝对值里面数的正负.