来自孙钦善的问题
若关于x的不等式ex-(a+1)x-b≥0(e为自然对数的底数)在R上恒成立,则(a+1)b的最大值为()A.e+1B.e+12C.e2D.e4
若关于x的不等式ex-(a+1)x-b≥0(e为自然对数的底数)在R上恒成立,则(a+1)b的最大值为()
A.e+1
B.e+12
C.e2
D.e4
1回答
2020-06-14 05:33
若关于x的不等式ex-(a+1)x-b≥0(e为自然对数的底数)在R上恒成立,则(a+1)b的最大值为()A.e+1B.e+12C.e2D.e4
若关于x的不等式ex-(a+1)x-b≥0(e为自然对数的底数)在R上恒成立,则(a+1)b的最大值为()
A.e+1
B.e+12
C.e2
D.e4
不等式ex-(a+1)x-b≥0(e为自然对数的底数)在R上恒成立,令f(x)=ex-(a+1)x-b,则f(x)≥0在R上恒成立.
只需要f(x)min≥0即可.
f′(x)=ex-(a+1)
令f′(x)=0,
解得x=ln(a+1),(a>-1)
当x∈(-∞,ln(a+1))时,f′(x)<0,则f(x)时单调递减.
当x∈(ln(a+1),+∞)时,f′(x)>0,则f(x)时单调递增.
故x=ln(a+1)时,f(x)取得最小值
即(a+1)-(a+1)ln(a+1)≥b
那么:(a+1)2[1-ln(a+1)]≥b(a+1)
令(a+1)=t,(t>0)
则现求g(t)=t2-t2lnt的最大值.
g′(t)=2t-2t•lnt-1t•t