已知函数f(x)=ex-x-1(e是自然对数的底数).(1)-查字典问答网
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来自秦晓蓉的问题

  已知函数f(x)=ex-x-1(e是自然对数的底数).(1)求证:ex≥x+1;(2)若不等式f(x)>ax-1在x∈[12,2]上恒成立,求正数a的取值范围.

  已知函数f(x)=ex-x-1(e是自然对数的底数).

  (1)求证:ex≥x+1;

  (2)若不等式f(x)>ax-1在x∈[12,2]上恒成立,求正数a的取值范围.

1回答
2020-06-17 14:55
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刘一江

  (本小题满分12分)

  证明:(1)由题意知,要证ex≥x+1,只需证f(x)=ex-x-1≥0,

  求导得f′(x)=ex-1,当x∈(0,+∞)时,f′(x)=ex-1>0,

  当x∈(-∞,0)时,f′(x)=ex-1<0,

  ∴f(x)在x∈(0,+∞)是增函数,在x∈(-∞,0)时是减函数,

  即f(x)在x=0时取最小值f(0)=0,

  ∴f(x)≥f(0)=0,即f(x)=ex-x-1≥0,

  ∴ex≥x+1.…(6分)

  (2)不等式f(x)>ax-1在x∈[12

2020-06-17 15:00:09

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