已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求-查字典问答网

来自潘世永的问题

　　已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）如果对任意x∈[2，+∞），不等式f（x）＞x+x2恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N*，求证：（1n）n

　　已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）．

　　（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

　　（Ⅱ）如果对任意x∈[2，+∞），不等式f（x）＞x+x2恒成立，求实数a的取值范围；

　　（Ⅲ）设n∈N*，求证：（1n）n+（2n）n+（3n）n+…+（nn）n＜ee−1．

1回答

2020-06-20 02:05

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程文明

　　（Ⅰ）∵f′（x）=ex-a，

　　当a≤0时，f′（x）＞0，得函数f （x）在（-∞，+∞）上是增函数．

　　当a＞0时，若x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，得函数f（x）在（lna，+∞）上是增函数；

　　若x∈（-∞，lna），f′（x）＜0，得函数f（x）在（-∞，lna）上是减函数．

　　综上所述，当a≤0时，函数f （x）的单调递增区间是（-∞，+∞）；当a＞0时，函数f （x）的单调递增区间是（lna，+∞），单调递减区间是（-∞，lna）．

　　（Ⅱ）由题意知：不等式ex-ax＞x+x2对任意x∈[2，+∞）成立，即不等式a＜e

2020-06-20 02:09:30