【f(x)=x(e^x-1)-ax^2,a∈R,其中e为自然-查字典问答网

来自甘育裕的问题

　　【f(x)=x(e^x-1)-ax^2,a∈R,其中e为自然对数的底数.（II）若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围】

　　f(x)=x(e^x-1)-ax^2,a∈R,其中e为自然对数的底数.（II）若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围

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2020-06-20 07:41

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曹宏嘉

　　f(x)≧0

　　即：x(e^x-1)-ax²≧0

　　因为x≧0,所以,两边约去一个x得：

　　e^x-1-ax≧0

　　ax≦e^x-1

　　x=0时,0≦0,得：a∈R；

　　x>0时,a≦(e^x-1)/x

　　令g(x)=(e^x-1)/x,x>0

　　g'(x)=(xe^x-e^x+1)/x²=[(x-1)e^x+1]/x²

　　令h(x)=(x-1)e^x+1,x>0

　　h'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x>0

　　所以,h(x)=(x-1)e^x+1在(0,+∞)上递增,

　　则：h(x)>h(0)=0

　　所以,g'(x)=h(x)/x²>0

　　所以,g(x)=(e^x-1)/x在(0,+∞)上递增,

　　则：g(x)>g(0),

　　lim(x→0)(e^x-1)/x=1

　　所以,g(x)>g(0)=1

　　所以,a≦1

2020-06-20 07:43:46