已知函数f（x）=ex-ax-1，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）若a=e，函数g（x）=（2-e）x．①求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；②若函数F（x）=f(x)，x≤mg(x)，x>m的值域为R，求实数m
已知函数f （x）=ex-ax-1，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）若a=e，函数g （x）=（2-e）x．
①求函数h（x）=f （x）-g （x）的单调区间；
②若函数F（x）=
f(x)，x≤mg(x)，x>m的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1-x2|≥1，求证：e-1≤a≤e2-e．
（1）a=e时，f（x）=ex-ex-1，
①h（x）=f（x）-g（x）=ex-2x-1，h′（x）=ex-2，
由h′（x）>0，得x>ln2，由h′（x）<0，解得：x<ln2，
故函数h（x）在（ln2，+∞）递增，在（-∞，ln2）递减；
②f′（x）=ex-e，
x<1时，f′（x）<0，f（x）在（-∞，1）递减，
x>1时，f′（x）>0，f（x）在（1，+∞）递增，
m≤1时，f（x）在（-∞，m]递减，值域是[em-em-1，+∞），
g（x）=（2-e）x在（m，+∞）递减，值域是（-∞，（2-e）m），
∵F（x）的值域是R，故em-em-1≤（2-e）m，
即em-2m-1≤0，（*），
由①可知m<0时，h（x）=em-2m-1>h（0）=0，故（*）不成立，
∵h（m）在（0，ln2）递减，在（ln2，1）递增，且h（0）=0，h（1）=e-3<0，
∴0≤m≤1时，h（m）≤0恒成立，故0≤m≤1；
m>1时，f（x）在（-∞，1）递减，在（1，m]递增，
故函数f（x）=ex-ex-1在（-∞，m]上的值域是[f（1），+∞），即[-1，+∞），
g（x）=（2-e）x在（m，+∞）上递减，值域是（-∞，（2-e）m），
∵F（x）的值域是R，∴-1≤（2-e）m，即1<m≤1e-2