已知f（x）=ex-x-1（e为自然对数的底数）．（1）求证-查字典问答网

来自付炜的问题

　　已知f（x）=ex-x-1（e为自然对数的底数）．（1）求证：f（x）≥0恒成立；（2）求证：（12n）n+（32n）n+（52n）n+…+（2n-12n）n<ee-1对一切正整数n均成立．

　　已知f（x）=ex-x-1（e为自然对数的底数）．

　　（1）求证：f（x）≥0恒成立；

　　（2）求证：（12n）n+（32n）n+（52n）n+…+（2n-12n）n<

　　ee-1对一切正整数n均成立．

1回答

2020-06-20 23:04

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蒋冬初

　　（1）∵f′（x）=ex-1，

　　∴当x<0时，f′（x）<0；当x>0时，f′（x）>0．

　　∴f（x）在区间（-∞，）]上为减函数，在[0，+∞）上为增函数，

　　∴f（x）在R上的最小值为f（0）=0，因此f（x）≥0恒成立；

　　（2）由（1）知，不等式1+x≤ex恒成立，

　　所以对任意正整数n有，0<1-i2n

2020-06-20 23:05:16