已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数-查字典问答网
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  已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值;(3)在(2)的条件下,证明:(1n)n

  已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).

  (1)求函数f(x)的最小值;

  (2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值;

  (3)在(2)的条件下,证明:(1n)n+(2n)n+…+(n-1n)n+(nn)n<ee-1(其中n∈N*).

1回答
2020-06-20 21:02
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邓武

  (1)由题意a>0,f′(x)=ex-a,

  由f′(x)=ex-a=0得x=lna.

  当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0.

  ∴f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.

  即f(x)在x=lna处取得极小值,且为最小值,其最小值为f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1.(5分)

  (2)f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,即在x∈R上,f(x)min≥0.

  由(1),设g(a)=a-alna-1,所以g(a)≥0.

  由g′(a)=1-lna-1=-lna=0得a=1.

  ∴g(a)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,

  ∴g(a)在a=1处取得最大值,而g(1)=0.

  因此g(a)≥0的解为a=1,∴a=1.(9分)

  (3)证明:由(2)知,对任意实数x均有ex-x-1≥0,即1+x≤ex.

  令x=-kn

2020-06-20 21:07:44

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