已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（1e，f（1e））处的切线斜率为自然对数的底数．（I）求实数a的值；（II）设g（x）=f(x)−xx−1，求g（x）的单调区间；（III）当m＞n＞1（m，n∈Z）时，证明

　　已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（1e，f（1e））处的切线斜率为自然对数的底数．

　　（I）求实数a的值；

　　（II）设g（x）=f(x)−xx−1，求g（x）的单调区间；

　　（III）当m＞n＞1（m，n∈Z）时，证明：mn

　　nm

　　＞nm．