设实数x>0，n∈N*，e是自然对数的底数．（1）证明：（1-查字典问答网

来自马文驹的问题

　　设实数x>0，n∈N*，e是自然对数的底数．（1）证明：（1-x）ex<1<ex-x；（2）若数列{an}满足：an>0且ean+1=ean-1，证明：{an}在定义域内是递减数列．

　　设实数x>0，n∈N*，e是自然对数的底数．

　　（1）证明：（1-x）ex<1<ex-x；

　　（2）若数列{an}满足：an>0且ean+1=ean-1，证明：{an}在定义域内是递减数列．

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2020-06-20 12:44

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万蓬

　　证明：（1）令f（x）=1-（1-x）ex，g（x）=ex-x-1，

　　①f（x）=1+（x-1）ex，

　　f′（x）=ex+（x-1）ex=xex，

　　因为x>0，所以f′（x）>0，即f（x）在（0，+∞）上严格单调递增，

　　又f（0）=1-1=0，

　　所以当x>0时，f（x）>0，

　　即（1-x）ex<1．

　　②g′（x）=ex-1，

　　因为x>0时，ex>1，所以g′（x）>0，即g（x）在（0，+∞）上严格单调递增，

　　又g（0）=1-1=0，

　　所以当x>0时，g（x）>0，

　　即1<ex-x，

　　综上所述，（1-x）ex<1<ex-x．

　　（2）因为e

2020-06-20 12:49:30