我们知道群论是数学的一个重要分支,它在很多学科都有重要的应用,例如在物理中的应用,群论是量子力学的基础.本课程的目的是为了使学生对群论的基本理论有感性的认识和理性的了解.本课程介绍群论的基本理论及某些应用.主要内容有：首先介绍群、子群、群同构的概念及有关性质,这是了解群的第一步.然后较为详细地讨论了两类最常见的群：循环群与置换群,包括一些例题和练习,可以熟悉群的运算和性质,加深对群的理解.并且介绍置换群的某些应用.

　　然后对群论中某些重要的概念作专题讨论.首先定义并讨论群的子集的运算；由群的子集的运算,引出并讨论了子群的陪集的概念与性质.定义并讨论了正规子群与商群的概念与性质.借助于商群的概念证明了群同态基本定理,从而对群的同态象作出了系统的描述.这部分内容是群论中最基本的内容,是任何一个希望学习群论的读者所必须掌握的.并且给出群的直积的概念,这是研究群的结构不可缺少的工具.

　　最后是群表示论的基本理论及应用,包括矢量空间与函数空间,矩阵的秩与直积,不变子空间与可约表示、shur引理、正交理论、特征标、正规函数、基函数、表示的直积等的概念.

　　在群的表示理论之后,就是它在量子力学中的应用,例如从群论的角度解决一些量子力学问题,主要包括哈密顿算符的对称性,距阵元定理和选择定则.从而达到了解群论的基础知识以及有限群的表示理论,为群论在物理学中的应用打下基础的目的.

　　Grouptheoryisoneofthegreatsimplifyingandunifyingideasinmodernmathematics,andithasimportantapplicationsinmanyscientificfields.Forexample,grouptheoryisthegroundofQuantumMechanics.Itwasintroducedinordertounderstandthesolutionstopolynomialequations,butonlyinthelastonehundredyearshasitsfullsignificance,asamathematicalformulationofsymmetry,beenunderstood.Itplaysaroleinourunderstandingoffundamentalparticles,thestructureofcrystallatticesandthegeometryofmolecules.Inthisunitwewillstudythesimpleaxiomssatisfiedbygroupsandbegintodevelopbasicgrouptheoryinanaxiomaticway.Theaimofthecourseistointroducestudentstotheconceptofgroups,thenotionofanaxiomaticsystemthroughtheexampleofgrouptheory,toinvestigateelementarypropertiesofgroups,toillustratethesewithanumberofimportantexamples,suchasgenerallineargroupsandsymmetricgroups.

　　Wegivethenecessarynotationsandbasicdefinitionsthatweusethroughoutthethesis.Firsttheconceptofsubclassisdefinedanddiscussed,theconceptofthecoset,theproblemsgroupfactorization,coset.intersection,anddoublecosetmemberforthesubclass,etc.Thecontentofthispartisthemostbasiccontentandisnecessarytolearnforstudents.

　　Animportanttoolforthestudyofgroups(particularlyfinitegroupsandwithcompactgroups)isrepresentationtheory.Broadlyspeaking,thisasksforpossiblewaystoviewagroupasapermutationgrouporalineargroup.Anumberofattractiveareasofrepresentationtheorylinkrepresentationsofagroupwiththoseofitssubgroups,especiallynormalsubgroups,algebraicsubgroups,andlocalsubgroups.Representationtheoryalsoconsidersimagesofgroupsintheautomorphismgroupsofotherabeliangroupsthansimplycomplexvectorspaces;thesethenarethegroupmodules.(Thisisasomewhatmoreflexiblesettingthanabstractgrouptheory,sincewemoveintoanadditivecategory);modularrepresentationtheorystudiesthecaseinwhichthemodulesarevectorspacesoverfieldswithpositivecharacteristic.

　　Atlast,thecourseisontheapplicationofgrouptheorytoQuantumMechanics.Weconsiderasymmetryoperationofthesystem.SymmetryoperationtransformtotheHamiltonoperatorsymmetry,whichisassociatedwiththerepresentationmatrix.Sothereismatrixelementtheorem,andtheorychoice.

　　方程论是古典代数的中心课题.直到19世纪中叶,代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科,代数方程的求解问题依然是代数的基本问题,特别是用根式求解方程.所谓方程有根式解（代数可解）,就是这个方程的解由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来的.群论也就是起源于对代数方程的研究,它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果.本文正是从方程论的发展入手,阐述伽罗瓦群论的产生过程,及其伽罗瓦理论的实质.

　　一.伽罗瓦群论产生的历史背景

　　从方程的根式解法发展过程来看,早在古巴比伦