因为,∠A=30º,∠C=90º,AB=12

　　所以：BC=1/2AB=1/2×12=6（在直角三角形中,如果有一个角为30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）

　　根据勾股定理

　　AC^2+BC^2=AB^2,得（说明,x^2表示x的平方）

　　AC^2+6^2=12^2

　　AC^2+36=144

　　AC^2=108

　　所以：AC=6√3

　　设DE=X,则BF=BC-CF=BC-DE=6-X

　　在三角形EFB中,EF/BF=tan60°

　　EF=BF×tan60°=(6-X)×√3=6√3-√3X

　　长方形CDEF的面积等于两边DE与CD之积,而CD=EF,所以有

　　S=DE×CD

　　=DE×EF

　　=x(6√3-x√3)

　　=(-√3)x^2+6√3x

　　=-√3(X^2-6X+9-9)

　　=-√3(X^2-6X+9)+9√3

　　=-√3(X-3)^2+9√3

　　所以当X=3时,即DE=3时,长方形面积最大.

　　DE=3,DE=1/2BCDE∥BC(长方形对边平行）

　　所以DE是三角形ABC的中位线

　　所以点E是AB的中