§5因式分解定理

　　一、不可约多项式

　　.

　　定义8数域上次数的多项式称为域上的不可约多项式(irreduciblepolynomical),如果它不能表成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积.

　　根据定义,一次多项式总是不可约多项式.

　　一个多项式是否可约是依赖于系数域的.

　　显然,不可约多项式的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍这两种,此外就没有了.反过来,具有这个性质的次数的多项式一定是不可约的.由此可知,不可约多项式与任一多项式之间只可能有两种关系,或者或者.

　　定理5如果是不可约多项式,那么对于任意的两个多项式,由一定推出或者.

　　推广：如果不可约多项式整除一些多项式的乘积,那么一定整除这些多项式之中的一个.

　　二、因式分解定理

　　因式分解及唯一性定理数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式

　　,

　　那么必有,并且适当排列因式的次序后有

　　.

　　其中是一些非零常数.

　　应该指出,因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性,但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上,对于一般的情形,普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.

　　在多项式的分解式中,可以把每一个不可约因式的首项系数提出来,使它们成为首项系数为1的多项式,再把相同的不可约因式合并.于是的分解式成为

　　,

　　其中是的首项系数,是不同的首项系数为1的不可约多项式,而是正整数.这种分解式称为标准分解式.

　　如果已经有了两个多项式的标准分解,就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式与的最大公因式就是那些同时在与的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带的方幂的指数等于它在与中所带的方幂中较小的一个.

　　由以上讨论可以看出,带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.

　　若与的标准分解式中没有共同的不可约多项式,则与互素.

　　注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法,因为在一般情况下,没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法,即使要判断数域上一个多项式是否可约一般都是很困难的.

　　例在有理数域上分解多项式为不可约多项式的乘积.