【已知函数f(x)=(1+1/tanx)sin(x)^2-2-查字典问答网
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  【已知函数f(x)=(1+1/tanx)sin(x)^2-2sin(x+π/4)*cos(x+π/4)(1)若tanα=2,求f(α)(2)若x∈[π/12,π/2],求f(x)的取值范围】

  已知函数f(x)=(1+1/tanx)sin(x)^2-2sin(x+π/4)*cos(x+π/4)

  (1)若tanα=2,求f(α)

  (2)若x∈[π/12,π/2],求f(x)的取值范围

1回答
2020-06-24 23:07
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程红太

  先用tanx=sinx/cosx、倍角公式、诱导公式化简原函数:

  f(x)=sin²x+sinxcosx-sin[2(x+π/4)]=(1-cos2x)/2+1/2sin2x-sin(2x+π/2)=-3/2cos2x+1/2sin2x+1/2

  (1)由万能公式,cos2x=(1-tan²x)/(1+tan²x),sin2x=2tanx/(1+tan²x)

  f(α)=-3/2*(1-2²)/(1+2²)+1/2*2*2/(1+2²)=13/10

  (2)为求f(x)范围,再用辅助角公式化简原函数:

  f(x)=根号10/2sin(2x-arctan3)+1/2

  若x∈[π/12,π/2]:f(x)最大值为(根号10)/2+1/2

  f(x)最小值为f(π/12)=-3/2cos(π/6)+1/2sin(π/6)+1/2=-(3根号3)/4+3/4

2020-06-24 23:09:42

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