我们知道,

　　(a+b)2＝a2+2ab+b2．①

　　由多项式的乘法,可以得到

　　(a+b)3＝(a+b)2(a+b)

　　＝(a2+2ab+b2)(a+b)

　　＝a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3

　　＝a3+3a2b+3ab2+b3．②

　　从展开式①,②中,可以看出如下规律：

　　项数与次数

　　项数比次数多1；

　　展开式中的字母a按降幂排列,第一项的字母a的指数就是二项式的次数；而字母b则按升幂排列,末项b的指数也是二项式的次数；

　　各项中a,b指数的和都等于二项式的次数．

　　系数

　　首末两项的系数都是1；

　　②式中第二项的系数是①式中第一、二项系数的和；

　　②式中第三项的系数是①式中第二、三项系数的和．

　　上述规律,从下面的表中可以很清楚地展示出来．

　　按上述规律,

　　(a+b)4

　　展开式各项的系数为

　　14641

　　再结合项数与次数的规律,可得

　　(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．③

　　由多项式的乘法验证,③的结果是对的．

　　事实上,由③可以推出(a+b)5展开式各项的系数,等等．当二项式的次数不大时,我们利用项数与次数以及系数的规律可以将展开式写出来．例如

　　(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

　　如果你有兴趣,不妨按照上述规律写出(a+b)6的展开式．

　　上述二项式展开式的系数表在我国宋朝数学家杨辉著《详解九章算法》(1261年)一书中用过．杨辉在注释中提到,贾宪也用过上述办法．因此,我们称上述系数表为杨辉三角或贾宪三角．

　　下面看一看(a+b)2项数推广的情形．

　　我们用语言表述公式

　　(a+b)2＝a2+2ab+b2①

　　为：两数和的平方,等于这两个数的平方和,加上这两个数积的2倍．

　　我们曾用多项式的乘法计算,得

　　(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．②

　　上式同样可用语言表述为：三数和的平方,等于这三个数的平方和,加上这三个数中每两个数的积的2倍．下面,我们用多项式的乘法计算四数和的平方．

　　(a+b+c+d)2＝[(a+b)+(c+d)]2

　　＝(a+b)2+2(a+b)(c+d)+(c+d)2

　　＝a2+2ab+b2+2ac+2ad+2bc+2bd+c2+2cd+d2

　　＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．③

　　同样,上式用语言表述为：四数和的平方,等于这四个数的平方和,加上这四个数中每两个数的积的2倍．

　　同学们如有兴趣,可利用公式②,③计算下列各题：

　　1．(a+2b-c)2．

　　2．(2x-y+3z)2．

　　3．(a+b-c-d)2．

　　4．(x-2y-z+2w)2．