1.两个式子分别平方：(sinx+siny)^2=(sinx)^2+2sinxsiny+(siny)^2=16/25

　　(cosx+cosy)^2=(cosx)^2+2cosxcosy+(cosy)^2=9/25

　　两式相加：(sinx)^2+(cosx)^2+2sinxsiny+2cosxcosy+(siny)^2+(cosy)^2=16/25+9/25

　　1+2sinxsiny+2cosxcosy+1=1

　　2(sinxsiny+cosxcosy)=-1

　　cos(x-y)=-1/2

　　2.[sin50+cos40*(1+tan60*tan10)]/(cos20)^2

　　={sin50+cos40*[1+(sin60sin10/cos60cos10)]}/(cos20)^2

　　={sin50+cos40*[(cos60cos10/cos60cos10)+(sin60sin10/cos60cos10)]}/(cos20)^2

　　={sin50+cos40*[(cos60cos10+sin60sin10)/(cos60cos10)]}/(cos20)^2

　　={sin50+cos40*[cos(60-10)/(cos60cos10)]}/(cos20)^2

　　=[sin50+(cos40cos50)/(cos60cos10)]/(cos20)^2

　　={sin50+[cos40cos(90-40)/(1/2)cos10]}/(cos20)^2

　　=[sin(90-40)/(cos20)^2]+[2cos40sin40/cos10*(cos20)^2]

　　=[(cos40)/(1+cos40)/2]+[(sin80)/cos10*(cos20)^2]

　　=[2cos40/(1+cos40)]+[sin(90-10)/cos10*(cos20)^2]

　　=[2cos40/(1+cos40)]+{(cos10)/cos10*[(1+cos40)/2]}

　　=(2cos40+2)/(1+cos40)

　　=2

　　3.(2cos^2a-1)/[2tan*(45-a)*sin^2(45+a)]

　　=(2cos^2a-1)/{2tan*(45-a)*[sin^2(90-(45-a)]}

　　=(2cos^2a-1)/[2tan*(45-a)*cos^2(45-a)]

　　=(cos2a)/[2sin(45-a)cos(45-a)]

　　=(cos2a)/[sin(90-2a)]

　　=(cos2a)/(cos2a)=1

　　4.cos(a+b)=cosacosb-sinasinb=1/3

　　cos(a-b)=cosacosb+sinasinb=1/6

　　两式相加：2cosacosb=1/2

　　两式相减：2sinasinb=-1/6

　　tana*tanb=(sinasinb)/(cosacosb)=-1/3

　　5.在三角形中：tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)

　　根据正切的两角和公式,变形后得：tanA+tanB={[tan(A+B)]*(1-tanAtanB)}

　　展开：tanA+tanB=tan(A+B)-tan(A+B)tanAtanB

　　将tanC=-tan(A+B)代入上式：tanA+tanB=-tanC+tanCtanAtanB

　　整理后：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　在三角形中：A+B+C=π,则：A/2+B/2+C/2=π/2

　　tan(A/2)*tan(B/2)+tan(B/2)*tan(C/2)+tan(C/2)*tan(A/2)

　　=tan(A/2)[tan(B/2)+tan(C/2)]+tan(B/2)*tan(C/2)

　　={tan[π/2-(B/2+C/2)]}*{[tan(B/2+C/2)][1-tan(B/2)*tan(C/2)]}+tan(B/2)*tan(C/2)

　　=cot(B/2+C/2)*[tan(B/2+C/2)][1-tan(B/2)*tan(C/2)]+tan(B/2)*tan(C/2)

　　=1[1-tan(B/2)*tan(C/2)]+tan(B/2)*tan(C/2)

　　=1-tan(B/2)tan(C/2)+tan(B/2)*tan(C/2)

　　=1