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  在半径为R的球内作一内接圆锥,求圆锥的体积最大值1,在半径为R的球内作一内接圆锥,求圆锥的体积最大值,并求圆锥最大值时圆锥的高高h=4R/3,V最大=32πR^3/812,已知矩形ABCD中,AB=2,∠CAB=30度,将它

  在半径为R的球内作一内接圆锥,求圆锥的体积最大值

  1,在半径为R的球内作一内接圆锥,求圆锥的体积最大值,并求圆锥最大值时圆锥的高

  高h=4R/3,V最大=32πR^3/81

  2,已知矩形ABCD中,AB=2,∠CAB=30度,将它沿对角线AC折起,使平面DAC⊥平面BAC,则此时线段BD的长为_____√30/3________

  3,圆锥轴截面顶角的余弦是7/25,则它的侧面展开图的中心角度数为______216____________

1回答
2020-06-25 01:36
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宫宁生

  1设内接圆锥的高为h,底面半径为r,体积为V,则V=π/3×r2×h=π/3×r2×(R+√(R2-r2)).令r=Rcosθ(0<θ<π/2),于是V=π/3×R3×cos2θ(1+sinθ)=π/6×R3(2(1-sinθ)(1+sinθ)(1+sinθ)<=π/6×R3((2(1-sinθ)+(1+sinθ)+(1+sinθ))/3)3=32/81×πR3当且仅当2(1-sinθ)=1+sinθ,即sinθ=1/3时等号成立,这时h=R(1+sinθ)=4/3×R

  那么圆锥半径r^2=R^2-(4R/3-R)^2=8R^2/9

  体积=派*r^2*h/3=32派R^3/81

  2过D做DO垂直AC

  则角DOB=90度

  因为AB=2,∠CAB=30度

  那么BC=2*tan30=2根号3/3

  因为AD=BC

  角DAO=60度

  因此OA=AD*cos60=(2根号3/3)*(1/2)=根号3/3

  OD=AD*sin60=1

  根据余弦定理

  OB^2=AO^2+AB^2-2AO*AB*cos30

  =1/3+4-2*(根号3/3)*2*(根号3/2)

  =7/3

  BD^2=OB^2+OD^2=7/3+1=10/3

  BD=根号30/3

  圆锥轴截面顶角的余弦是7/25

  设母线长为l

  由余弦定理

  圆锥底面直径的平方p^2=l^2+l^2-2l^2*(7/25)=36*l^2/25

  底面直径=6l/5

  半径=3l/5

  底面周长=2派*(3l/5)=6派l/5

  所以侧面展开图的中心角=(6派l/5)/l=6派/5

  6派/5=216度

  所以侧面展开图的中心角度数为216度

2020-06-25 01:37:57

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