令A=cos^2θ+cos^2(θ+α)+cos^2(θ+β),

　　B=sin^2θ+sin^2(θ+α)+sin^2(θ+β),

　　则A+B=3,A-B=cos2θ+cos2(θ+α)+cos2(θ+β).

　　因为F(θ)的值不随θ的变化而变化,所以A-B也如此.

　　令θ=0,得到A-B=1+cos2α+cos2β

　　θ=pi/4,得到A-B=-sin2α-sin2β

　　θ=pi/2,得到A-B=-1-cos2α-cos2β

　　θ3pi/4,得到A-B=sin2α+sin2β

　　因为A-B不随θ的变化而变化,所以以上四个式子相等.

　　由1、3两个式子得到cos2α+cos2β=-1

　　由2、4两个式子得到sin2α+sin2β=0

　　根据后一个式子,知道2α+2β=2pi,即α+β=pi

　　代入前一个式子,有cos2α=-1/2,即2α=2pi/3或4pi/3.

　　因此本题的解为α=pi/3,β=2pi/3；或α=2pi/3,β=pi/3.