已知OA和OB是圆O的两条半径,且OA⊥OB,弦AD交OB于-查字典问答网

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　　已知OA和OB是圆O的两条半径,且OA⊥OB,弦AD交OB于P,过点D的切线交OB的延长线于C,若PD=DC,则∠A=

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2020-06-26 13:25

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汪红星

　　延长AO交⊙O于E,连结DO、DE.

　　∵PD＝DC,∴∠C＝∠CPD,∴∠CDP＝180°－2∠C.

　　∵DC切⊙O于D,∴∠CDO＝90°,∴∠CDP＋∠ODA＝90°,∴180°－2∠C＋∠OCA＝90°,

　　∴2∠C－∠OCA＝90°.

　　显然有：AO＝DO,∴∠OCA＝∠A,∴2∠C－∠A＝90°.

　　∵AE是⊙O的直径,∴AD⊥DE、又PO⊥EO,∴E、O、P、D共圆,∴∠CPD＝∠E.

　　由∠C＝∠CPD、∠CPD＝∠E,得：∠C＝∠E.

　　又DO＝EO,∴∠E＝∠ODE,∴∠C＝∠ODE,而∠ODE＋∠ODA＝90°,

　　∴∠C＋∠A＝90°,∴2∠C＋2∠A＝180°.

　　联立：2∠C－∠A＝90°、2∠C＋2∠A＝180°,消去∠C,得：3∠A＝90°,∴∠A＝30°.

2020-06-26 13:30:04