来自顾玲娟的问题
【已知在半径为2的球面上有ABCD四点,若AB=CD=2则四面体的体积最大值为......那个】
已知在半径为2的球面上有ABCD四点,若AB=CD=2则四面体的体积最大值为......那个
1回答
2020-06-26 11:44
【已知在半径为2的球面上有ABCD四点,若AB=CD=2则四面体的体积最大值为......那个】
已知在半径为2的球面上有ABCD四点,若AB=CD=2则四面体的体积最大值为......那个
球心假设为O,则三角形ABO,三角形CDO都是边长为2的等边三角形,显而易见,当平面ABO与平面CDO垂直,且过O点的三角形ABO,三角形CDO的底边中线共线时,四面体ABCD的体积最大。
我这边上传不了图片,你可以照下边作图:
先画四面体ABCD,(要求如上)CD中点为E,AB中点为G,连接EG,AE,BE,过B作AE的垂线,垂足为F。
EG=2√3
AC=AD=BC=BD=√14
AE=BE=√13
三角形ACD的面积S=AE*CD/2=√13*2/2=√13
BF=AB*EG/AE=2*2√3/√13=4√39/13
四面体ABCD的体积V=S*BF/3=√13*4√39/39=4√3/3