证明：（I）由f（x），g（x）在（a，b）内存在相等的最大值，

　　①若在某点c∈（a，b）同时取得最大值，则f（c）=g（c），此时的c就是所求点，即存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η）；

　　②若两个函数取得最大值的点不同，设f（c）=maxf（x），g（d）=maxg（x），f（c）=g（d）．

　　则有f（c）-g（c）＞0，g（d）-f（d）＜0，

　　因此函数F（x）=f（x）-g（x）在[c，d]或[d，c]上满足零点定理的条件，

　　故在（c，d）或（d，c）内肯定存在η，使得f（η）=g（η）

　　综合①②，存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η）

　　（II）由（1）和洛尔定理在区间（a，η），（η，b）内分别存在一点{ξ}_{1}和{ξ}_{2}，使得

　　f（ξ1）=0，f′（ξ2）=0

　　在区间（ξ1，ξ2）内对函数F（x）=f（x）-g（x）用洛尔定理，即

　　∃ξ∈（ξ1，ξ2）⊂（a，b），F''（ξ）=f''（ξ）-g''（ξ）=0

　　即∃ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）．