一道高中数学题（有关牛顿迭代法）函数f(x)=x^2+x-1-查字典问答网

来自郭日益的问题

　　一道高中数学题（有关牛顿迭代法）函数f(x)=x^2+x-1,a,b是方程f(x)的两根(a>b).f'(x)=2x+1.设a1=1a(n+1)=a(n)-[f(an)/f'(an)n=1,2,3……（1）求a,b的值（2）记b(n)=ln(an-b/an-a)求数列bn的前n项和Sn注

　　一道高中数学题（有关牛顿迭代法）

　　函数f(x)=x^2+x-1,a,b是方程f(x)的两根(a>b).f'(x)=2x+1.设a1=1a(n+1)=a(n)-[f(an)/f'(an)n=1,2,3……

　　（1）求a,b的值（2）记b(n)=ln(an-b/an-a)求数列bn的前n项和Sn

　　注：n都是角码.过程详细些,谢谢.

1回答

2020-03-13 17:09

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曹文彬

　　(1).

　　由题意得

　　a,b为方程

　　x^2+x-1=0的两根

　　根据求根公式得

　　a=(-1+根号5)/2

　　b=(-1-根号5)/2

　　(2)

　　因为

　　a(n+1)=a(n)-[f(an)/f'(an)]=(a(n)^2+1)/(2a(n)+1)

　　且

　　b^2=1-b

　　a^2=1-a

　　所以

　　[a(n+1)-b]/[a(n+1)-a]

　　=(an^2-2ban+b^2)/(an^2-2aan+a^2)

　　=(an-b)^2/(an-a)^2

　　=[(an-b)/(an-a)]^2

　　所以

　　b(n+1)=ln[(an-b)/(an-a)]^2=2ln[(an-b)/(an-a)]=2bn

　　所以{bn)为等比数列

　　所以

　　Sn=b1（2^n-1)=[(7+3根5)/2]*(2^n-1)

2020-03-13 17:13:07