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  【高二数学推理与证明习题!1.已知:a>0,b>0,求证2ab/a+b≤√ab≤a+b/2≤√[(a^2+b^2)/2]2.设a,b,c∈R,求证√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)≥√2(a+b+c)3.证明:f(x)=2^(x²-4x+3)在(2,+∞)上是增加】

  高二数学推理与证明习题!

  1.已知:a>0,b>0,求证2ab/a+b≤√ab≤a+b/2≤√[(a^2+b^2)/2]

  2.设a,b,c∈R,求证√(a^2+b^2)+√(b^2+c^2)+√(c^2+a^2)≥√2(a+b+c)

  3.证明:f(x)=2^(x²-4x+3)在(2,+∞)上是增加的.

  PS.一定要完整过程先谢谢啦!

1回答
2020-04-16 18:22
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李哲林

  分析,(1)和(2),都用到,

  ∵(a-b)²≥0;

  ∴a²+b²-2ab≥0

  (1)证明:∵a>0,b>0;

  ∴(a-b)²≥0;

  ∴a²+b²-2ab≥0;

  第一个不等号:

  a²+b²+(2ab-2ab)-2ab≥0;

  (a+b)²-2ab-2ab≥0;

  (a+b)²≥4ab;

  4ab×(ab)≤(a+b)²×(ab);

  4a²b²≤(a+b)²ab

  4a²b²/(a+b)²≤ab

  √[4a²b²/(a+b)²]≤√[ab]

  2ab/(a+b)≤√(ab)

  第二个不等号:

  a²+b²+(2ab-2ab)-2ab≥0;

  (a+b)²-2ab-2ab≥0;

  4ab≤(a+b)²;

  √4ab≤√(a+b)²

  √ab≤(a+b)/2;

  第三个不等号:

  a²+b²-2ab≥0;

  a²+b²+(a²+b²)-(a²+b²)-2ab≥0;

  2(a²+b²)-(a²+b²+2ab)≥0;

  2(a²+b²)-(a+b)²≥0;

  2(a²+b²)≥(a+b)²

  2(a²+b²)/4≥(a+b)²/4

  (a²+b²)/2≥(a+b)²/4

  √[(a²+b²)/2]≥√[(a+b)²/4]

  √[(a²+b²)/2]≥(a+b)/2;

  (a+b)/2≤√[(a²+b²)/2];

  ---------------------------------------------------------

  (2)证明:∵a、b、c∈R;

  ∴(a-b)²≥0;

  由于(1)的第三个不等式的证明有:

  (a+b)/2≤√[(a²+b²)/2];

  √(a²+b²)≥(a+b)/√2;-------(11)

  同理有:√(b²+c²)≥(b+c)/√2;------(22)

  √(c²+a²)≥(c+a)/√2;------(33)

  (11)、(22)和(33)三式相加得:

  √(a²+b²)+√(b²+c²)+√(c²+a²)≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)]/√2;

  √(a²+b²)+√(b²+c²)+√(c²+a²)≥2(a+b+c)/√2=√2(a+b+c);

  ----------------------------------------------

  ∵指数函数a^x(a>0且≠1),

  当a>1时,指数函数是递增的函数;

  又∵f(x)=2^(x²-4x+3)

  =2^[(x-2)²-1]

  当∈(2,+∞)时,(x-2)²-1是递增函数;

  ∴底数为2^X指数函数

  f(x)=2^(x²-4x+3)=2^[(x-2)²-1],在(2,+∞)时是递增的函数;

  ---------------------------------------------

  ###.

2020-04-16 18:24:46

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