⑴设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)

　　设C（acosθ,bsinθ）,则OC中点M为（0.5acosθ,0.5bsinθ)

　　设A、B坐标分别为（x1,y1)、(x2,y2),直线AB斜率为k代入到椭圆方程中,得：

　　x1^2/a^2+y1^2/b^2=1

　　x2^2/a^2+y2^2/b^2=1

　　两式相减,得：k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(b/a)^2×（x1+x2)/(y1+y2)=1

　　又M也是AB中点,所以（x1+x2)/(y1+y2)=0.5acosθ/0.5bsinθ

　　即bsinθ/acosθ=-(b/a)^2化简得：

　　bcosθ＋asinθ＝0……①

　　同时MF的斜率为1,所以0.5bsinθ/(0.5acosθ-c)=1化简得：

　　acosθ－bsinθ＝2c……②

　　①②式平方相加,得：a^2+b^2=4c^2,又a^2-c^2=b^2

　　∴e=c/a=√10/5

　　⑵S△OAC=1/2S平行四边形OACB=S△OAB=15√5

　　利用椭圆焦点弦长公式AB＝2ab^2/(a^2-c^2cos^α)α是直线AB的倾斜角

　　这里,cos^α=1/2,所以AB＝4ab^2/(2a^2-c^2)

　　又O到直线AB的距离d=c/√2且S△OAB=15√5＝1/2AB×d

　　将以上各式代入,化简得：a^2=100,b^2=60

　　∴椭圆的方程为x^2/100+y^2/60=1

　　顺便给你证明一边椭圆的焦点弦长公式吧：

　　设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)

　　过焦点F1的直线AB交椭圆于AB两点,倾斜角为α.

　　另一个焦点为F2,连接AF2与BF2设AF1＝m,BF1=n

　　则,根据椭圆定义,AF2＝2a－m,BF2＝2a－n

　　在三角形AF1F2中,由余弦定理得

　　（2a－m)^2=m^2+(2c)^2-2m(2c)cosα

　　化简得：m=b^2/(a-c*cosα)

　　同理,再用一次余弦定理,可得n=b^2/(a+c*cosα)

　　所以AB＝m＋n＝2ab^2/(a^2-c^2cos^α)