【已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数，a为常数-查字典问答网

来自钱国荣的问题

　　【已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数，a为常数）在点（0，1）处的切线斜率为-1．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值；（Ⅱ）证明：当x>0时，x2<ex；（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c】

　　已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数，a为常数）在点（0，1）处的切线斜率为-1．

　　（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的极值；

　　（Ⅱ）证明：当x>0时，x2<ex；

　　（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞），恒有x2<cex．

1回答

2020-06-16 15:00

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谭玉柱

　　（I）f′（x）=ex-a，∵f′（0）=-1=1-a，∴a=2．

　　∴f（x）=ex-2x，f′（x）=ex-2．

　　令f′（x）=0，解得x=ln2．

　　当x<ln2时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减；当x>ln2时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增．

　　∴当x=ln2时，函数f（x）取得极小值，为f（ln2）=2-2ln2，无极大值．

　　（II）证明：令g（x）=ex-x2，则g′（x）=ex-2x，由（I）可得：g′（x）=f（x）≥f（ln2）>0，∴g（x）在R上单调递增，

　　因此：x>0时，g（x）>g（0）=1>0，∴x2<ex．

　　（III）证明：法一：首项证明当x∈（0，+∞）时，恒有13x

2020-06-16 15:01:11